
\documentclass[a4paper,12pt]{article}

% Use utf-8 encoding for foreign characters
\usepackage[utf8]{inputenc}

%Babel
\usepackage[american, russian]{babel}


% \usepackage{hyperref}

% For fullpage
\usepackage{fullpage}



% Uncomment some of the following if you use the features
%
% Running Headers and footers
%\usepackage{fancyhdr}

% Multipart figures
%\usepackage{subfigure}

% More symbols
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{latexsym}

%Theorem
\usepackage{amsthm}

% Surround parts of graphics with box
%\usepackage{boxedminipage}

% Package for including code in the document
%\usepackage{listings}

%Add indented line
\usepackage{indentfirst}

% If you want to generate a toc for each chapter (use with book)
%\usepackage{minitoc}

%For color text
\usepackage{color}


% This is now the recommended way for checking for PDFLaTeX:
\usepackage{ifpdf}


%\newif\ifpdf
%\ifx\pdfoutput\undefined
%\pdffalse % we are not running PDFLaTeX
%\else
%\pdfoutput=1 % we are running PDFLaTeX
%\pdftrue
%\fi



\ifpdf
\usepackage[pdftex]{graphicx}
\else
\usepackage{graphicx}
\fi


\begin{document}
	
	


% По-видимому олимпиады 8ого класса не было, а проект остался.


% \begin{center}
% 	{\it Первый математический турнир <<Кубок имени А.Н. Колмогорова>>} 
% \end{center}
% 
% \centerline{\it Белорецк, 20 --- 26 сентября 1997 года}
% 
% \centerline{\bf Олимпиада, 8 класс}
% 
% \medskip
% 
% 1. Найдите хотя бы одно натуральное число, сумма всех делителей которого (исключая само это число) равна $1997$.
% 
% 2. Квадратный ящик со стороной $10$ разбит на квадратные ячейки со стороной~$1$, в каждой из которых лежит по шару. 
% Внешне все шары одинаковы, но ровно один из них радиоактивен. 
% Имеется детектор, которым можно накрыть любые четыре ячейки, образующие квадрат $2\times2$, и он покажет, имеется ли в этих ячейках радиоактивный шар. 
% Можно ли за $24$ проверки наверняка найти этот шар?
% 
% 3. За круглым столом сидят $12$ человек, некоторые из которых всегда говорят только правду (назовем их рыцарями), а остальные всегда лгут (назовем их лжецами). Каждый из сидящих за столом произнес: <<Напротив меня сидит лжец>>. Сколько всего лжецов сидит за столом?
% 
% 4. Даны положительные числа $a$, $b$ и $c$ такие, что $a^2=11$, $b^2=13$,
%  $c^2 = 48$. Верно ли, что $a+b=c$?
% 
% 5. Пусть $M$ --- точка пересечения медиан треугольника $ABC$. Известно, что вписанные в треугольники $ABM$, $BCM$ и $CAM$ круги равны и попарно касаются друг друга. Докажите, что треугольник $ABC$ равносторонний.
% 
% 6. Пусть $N$ --- число способов разбиения квадрата на прямоугольники $2\times1$. Докажите, что $N$ делится на $2$.
% 
% \newpage


\begin{center}
	{\it Первый математический турнир <<Кубок имени А. Н. Колмогорова>>} 
\end{center}

\centerline{\it Белорецк, 20 -- 26 сентября 1997 года}

\centerline{\bf Олимпиада, 9 класс}

\medskip

1. Пусть $M$ --- точка пересечения медиан треугольника $ABC$. Известно, что вписанные в треугольники $ABM$, $BCM$ и $CAM$ круги равны и попарно касаются друг друга. Докажите, что треугольник $ABC$ равносторонний. \textit{(О. Ф. Крижановский)}

2. Пусть $N$ --- число способов разбиения куба на прямоугольные параллелепипеды $2\times1\times1$. Докажите, что $N$ делится на $3$. \textit{(А. В. Шаповалов)}

3. Даны числа $a^2$, $b^2$, $c^2$ ($a$, $b$ и $c$ --- положительные числа). 
Разрешается выполнять операции сложения, вычитания и умножения, а также запоминать любое количество промежуточных результатов и сравнивать их между собой. 
Можно ли, используя только эти операции, проверить справедливость равенства $a+b=c$? \textit{(И. С. Рубанов)}

4. Квадратный ящик со стороной $1997$ разбит на квадратные ячейки со стороной $1$, в каждой из которых лежит по шару. Внешне все шары одинаковы, но ровно один из них радиоактивен. Имеется детектор, которым можно накрыть любые четыре ячейки, образующие квадрат $2\times2$, и он покажет, имеется ли в этих ячейках радиоактивный шар. За какое наименьшее число таких проверок можно наверняка найти этот шар?\textit{(И. С. Рубанов)}

5. В треугольнике $ABC$ на стороне $AC$ существует единственная точка $D$, такая, что $BD^2=AD\cdot CD$. Докажите, что $BD$ --- биссектриса угла $ABC$. \textit{(О. Ф. Крижановский) }

6. Докажите, что для любых положительных a и b выполняется неравенство
\[
\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b} \geqslant \frac{5}{2 \sqrt{ab}}.
\]
\textit{(А. Б. Воронецкий)}

\newpage


\begin{center}
	{\it Первый математический турнир <<Кубок имени А. Н. Колмогорова>>} 
\end{center}

\centerline{\it Белорецк, 20 -- 26 сентября 1997 года}

\centerline{\bf Олимпиада, 10 класс}

\medskip

1. Пусть $M$ --- точка пересечения медиан треугольника $ABC$. Известно, что вписанные в треугольники $ABM$, $BCM$ и $CAM$ круги равны и попарно касаются друг друга. Докажите, что треугольник $ABC$ равносторонний. \textit{(О. Ф. Крижановский)}

2. Пусть $N$ --- число способов разбиения куба на прямоугольные параллелепипеды $2\times1\times1$. Докажите, что $N$ делится на $3$. \textit{(А. В. Шаповалов)}

3. Квадратный ящик со стороной $1997$ разбит на квадратные ячейки со стороной $1$, в каждой из которых лежит по шару. Внешне все шары одинаковы, но ровно один из них радиоактивен. Имеется детектор, которым можно накрыть любые четыре ячейки, образующие квадрат $2\times2$, и он покажет, имеется ли в этих ячейках радиоактивный шар. За какое наименьшее число таких проверок можно наверняка найти этот шар? \textit{(И. С. Рубанов)}

4. В треугольнике $ABC$ на стороне $AC$ существует единственная точка $D$, такая, что $BD^2=AD\cdot CD$. Докажите, что $BD$ --- биссектриса угла $ABC$. \textit{(О. Ф. Крижановский) }

5. Докажите, что для любых положительных $a$ и $b$ выполняется неравенство 
\[
\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b} \geqslant \frac{5}{2 \sqrt{ab}}.
\]
\textit{(А. Б. Воронецкий)}


6. Можно ли расставить натуральные числа в клетках шахматной доски так, чтобы в каждой паре соседних (имеющих хотя бы одну общую вершину) клеток одно из чисел делилось на другое, а для каждой пары несоседних клеток такого не было?

\newpage

\begin{center}
	{\it Первый математический турнир <<Кубок имени А.Н. Колмогорова>>} 
\end{center}

\centerline{\it Белорецк, 20 -- 26 сентября 1997 года}

\centerline{\bf Олимпиада, 11 класс}

\medskip
1. Можно ли в тригонометрическом уравнении 
\[
a_1\cos x+a_2\sin 2x + a_3 \cos 3x +a_4 \sin 4x + \dots +a_{1997} \cos 1997x =0
\]
так заменить коэффициенты действительными числами, чтобы полученное уравнение не имело действительных корней?

2. Отрезок разбит на конечное число отрезков, некоторые из которых покрашены в синий цвет, а остальные --- в красный (концы отрезков не покрашены). Известно, что совокупность всех красных отрезков можно так наложить на совокупность всех синих отрезков (не сдвигая одноцветные отрезки друг относительно друга), что эти совокупности совместятся. Докажите, что к центру исходного отрезка с одной стороны примыкает синий отрезок, а с другой --- красный. \textit{(А. Я. Белов)}

3. Квадратный ящик со стороной $1997$ разбит на квадратные ячейки со стороной $1$, в каждой из которых лежит по шару. Внешне все шары одинаковы, но ровно один из них радиоактивен. Имеется детектор, которым можно накрыть любые четыре ячейки, образующие квадрат $2\times2$, и он покажет, имеется ли в этих ячейках радиоактивный шар. За какое наименьшее число таких проверок можно наверняка найти этот шар? \textit{(И. С. Рубанов)}

4. В треугольнике $ABC$ на стороне $AC$ существует единственная точка $D$, такая, что $BD^2=AD\cdot CD$. Докажите, что $BD$ --- биссектриса угла $ABC$. \textit{(О. Ф. Крижановский) }

5. Можно ли расставить натуральные числа в клетках шахматной доски так, чтобы в каждой паре соседних (имеющих хотя бы одну общую вершину) клеток одно из чисел делилось на другое, а для каждой пары несоседних клеток такого не было?

6. Найдите все положительные значения $k$, при которых неравенство 
\[
\frac{1}{a+b}+k\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right) \geqslant \frac{4k+1}{2 \sqrt{ab}}
\]
выполняется для любых положительных $a$ и $b$.
\end{document}
